ホームページに埋め込んだYoutube動画をJavascriptで制御するためにAPIを利用することができます。
そしてそのAPIのパラメーターの一つに「loop」があります。

「loop」パラメーターは0がデフォルトで、1にすると動画を繰り返し再生することができます。
しかし、これだけでは繰り返し再生できません。

リファレンスによると

値: 0 または 1。デフォルトは 0 です。単一動画プレーヤーの場合に 1 を設定すると、最初の動画が繰り返し再生されます。再生リストプレーヤーまたはカスタム プレーヤーの場合、再生リスト全体を再生した後、最初の動画から再び再生が始まります。

https://developers.google.com/youtube/player_parameters?hl=ja

と書かれています。

つまりプレイリストのパラメーターを設定する必要があります。

プレイリストのパラメーターを追加で解決

1つの動画を繰り返し再生させたい時は、忘れがちですがしっかりとplaylistパラメータの記述をしましょう。

playlist:'動画ID'